虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：2 C% k" V- C9 B' I* X) g
2 W* Z( B1 ^+ v3 N$ y3 b
X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
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% _8 `2 z5 Y/ O! A/ ^这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。. H5 U1 |$ `" h/ D' n( Y
/ F% n) ]0 j* U+ O) J但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。) r* |6 z ^- l
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因为0 w* _) n7 ^$ Q5 { r
一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。9 G) t: d. ~" m# e
, v- x( b) d u
如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？
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. F5 q: s9 z9 N A再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。
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6 J: S+ q) x! E* s近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。
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我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。+ n! u+ S: E Y: H' n
下面我讲解我所想到的土办法。' ~' u* ?1 G T! s( y, B5 F
" R" V5 L7 L" O g$ x, x6 T$ {7 @" [$ I G% }2 p1 m$ I& P" ?
首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。' W5 A9 n2 {' Q- w7 X% ^
( V3 ^; H2 F" k, `. D* f
[定义]( a, L' ?& v0 i8 x+ _
整数乘以a，就是阵列常数个a。
1 m( t* F' [7 l, ba除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。
; I) O3 b5 R% Ta+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。. c$ F9 h+ ]6 l
a-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。; S+ M- M' K; f& X. ]$ `7 O
a*b即画个矩形，边长为a和b。
* _. g; l1 i$ C& c$ u; }! @a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。
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8 z; j5 C! M2 r; t1 U- qa的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。
2 z5 \- }6 v0 P5 l4 \( J其余仿此定义。
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" Q0 ^. L4 b0 }[步骤]- U$ |1 D# V+ U( N: h7 ^
1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。7 a/ s7 x. d( z8 [- B2 D) i
2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；7 ?" ]9 I& q% C) m
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；
# P7 P& L+ o/ v5 C% d- ?: H4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。
4 r, V; r7 ~. V9 f0 g7 n% A5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②
) R2 |/ K& ]* i- U3 O& M5 M①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。( X* D2 y/ o8 s4 [1 f
6 @3 p# W6 R M: N Z7 _②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是4 f: g# ^2 j3 `0 }; ^/ V: a
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。" F, e9 @3 Q2 M, C+ K" h
③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。
% _( I9 ~' F% x0 d& u) v6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。3 s) w, y$ E; f" M+ W. U9 X
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。
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上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
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如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。
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- q. O6 k) a' g7 ]/ v. @回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。% f- G' n2 k6 Z' g d; y) _1 i6 [
# _8 x$ G' n5 l3 p% U3 {0 r1 l" g如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。# U. i) F6 q3 g5 J( n' x$ Z( U4 [; j8 {
2 o9 R( g9 [: w9 V; T- i[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）
9 [' [0 z/ n1 x1 j$ j. T5 @' o$ d5 m4 Q) {8 y1 {/ _3 w9 {
1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:: A3 O D$ r1 n# m. z2 b6 h0 [, Z: c
2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;
5 ]& s& I% s* X, |3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;% G% L" X1 L& J5 K
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。
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" Q& O E' K. f! k. f9 r R8 M[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）
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: d f, P' B3 L1 o6 ^7 y1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
) u- n$ T) Y- q1 o$ \ ^2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
$ E6 l! Z# b J0 l+ h3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;% E9 g1 t! n1 f5 g7 x4 f' G% a
4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
发表于 2007-1-30 17:33
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