虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：
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A3 _2 h p n* L" UX*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
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这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。
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6 p2 W& |0 A' F- `但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。5 p, a$ E; \6 o4 d! r
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因为0 J8 T; z2 c7 V8 v
一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。
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2 C" D% E4 O9 k5 ?" x如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？6 i& i$ T) K( C, v2 y
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再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。1 Q+ @$ D5 ^. X& `0 t
4 I! l; B. L5 ^" u近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。 ^8 d+ P1 F( g, J4 k/ u2 R+ Z1 _9 T
; j4 q# p: @& ~. q: Q& m% |# W我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。
9 Y8 ~4 D( L0 P/ O% J' u下面我讲解我所想到的土办法。/ Q: c, x) f. W9 q9 u3 o
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4 D. | O: d5 O2 y. c首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。
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[定义]
) N; h: b% U0 C; E6 ?; M* K% F整数乘以a，就是阵列常数个a。
* y0 E0 O2 q; P, t/ y* D2 ~# wa除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。5 o) @7 f( k) o5 u' |
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
5 ?3 L4 Y) }5 A. ua-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。$ x. g2 w2 \: Y. K' G+ r! {9 u
a*b即画个矩形，边长为a和b。
% l: h4 Y2 Y$ ~& ~& J% s" ]a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。9 n# P9 e% h( G
4 d9 X& Q9 g, m. r4 |a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。
! k( K8 ]( L8 m3 {3 N. ]其余仿此定义。% C! J2 d5 Q/ p' G
) K7 S/ {0 U2 R. I" K3 S[步骤]
2 \7 K* |# q5 z9 @9 k1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
6 h. j5 o8 @7 g2 C; A u2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；7 d$ A0 q. F6 R9 A3 \" I! d! R% l
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；$ l N8 M4 Q1 G* Y
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。+ x4 I2 w( }' t' i
5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②
! F2 ]+ k. o. J5 n①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。& n; { v* T K. q9 Z# B! n3 a8 Q" t
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②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是1 ^- w+ n4 k6 }. h$ v5 a
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。' |: O4 Y# ~: D. E" l
③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。, h; d4 G' a. A, W+ d3 @
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。
5 A; F) r! h' }& z* i& h7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。5 R x5 ~" H% {. m
5 ^: h1 X1 C+ ~! z _3 W0 C上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
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如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。* _ l! \( P0 w* c' }# [2 K5 C
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回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。
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1 i1 O( a0 X) h# y/ J如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。
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[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）, D8 K: b9 G& F0 x {+ a* q
) q) X L. w& Y0 }, r3 T. ^: ^0 g3 R
1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
9 s# G8 W) n, x+ ], U* |2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;" M- S' a `; x$ l
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;; M) Y& a4 A; B/ e, P8 F5 k
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。
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6 I: T' ?2 q) N; g. A[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）3 _" J' k' V: h9 V* ^- F" }( z. Z- v
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+ d6 e0 H$ U, |+ K0 v& `1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;& f0 d: h. a1 ~4 v9 E, o0 ^
2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
( A6 f1 w! q" W& \4 b: H; l3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;" v L7 e6 Q3 o( y+ I* Y1 W
4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
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