虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：
2 Z3 m! z0 l$ g# H, m, D: M0 i5 s5 ]% n
X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0( Q8 q) W& o5 _# d; ~0 b0 W
# X( [0 ?: A$ }& \# n, Y* h& ?这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。3 J% m( w8 [3 P; ^8 Z" k
: m9 ?6 p, b6 y k" y但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。
" H6 U% A# d- C P5 ]7 t
% Z: E" x {+ V4 R: b因为. {* \. x( N; c. P/ S+ g, Q
一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。
6 q/ r1 i1 P4 F8 _7 L) k4 L9 M& r5 ?! ]; M- J' F5 J
如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？
' K* w. C( i- E! n* o3 {2 M
. k2 ^- {% i& Z! ~9 f再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。. c& ]0 c" f+ P2 y- p T
' }5 U! g: k- i4 L5 k
近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。
5 ?7 J. W: ]6 t1 t2 R1 X* s* T
& k7 }# V* t9 }2 g4 O2 P/ ]. M我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。
6 x$ R" @) H9 _4 a4 Z: h9 h6 ?下面我讲解我所想到的土办法。
$ [) p: s7 D$ y) g* {* A) m" k- o7 M$ T6 t
6 Y Y4 c, y. H" J
首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。( k/ X, x" E8 O* e# v; ~
! q9 o/ i$ M# g[定义]* l7 a# k8 P( V
整数乘以a，就是阵列常数个a。
4 p" ?9 C" H$ ?a除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。
7 h. B2 S4 F6 E, ?6 R1 Ga+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
/ |: l2 L7 Y, M V2 ya-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。
- p4 Q' s! A: M4 r* m* Ta*b即画个矩形，边长为a和b。( U/ a( H3 S+ [: q. O
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。
7 j; ~& v+ ~- V, {5 G) b, D+ {, b4 ~, p8 p i) u
a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。
1 z/ ~' c1 ~, h5 f# f1 T其余仿此定义。) f5 I. ]! s2 F! R1 u9 R" D
) F8 V1 R6 F- l" r[步骤]
! q% n! R3 |( \) N% |( V7 {( E8 U1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
% F) j* I) X( B2 A2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；& u! e; a$ r2 ~# G8 E* E
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；
6 V- r3 Q8 o0 \4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。: a$ C; m( ^# B( u! ~) K m
5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②
8 x4 x ^! O# M①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。
% V/ a. y! [+ g. g& S9 c [) i: u9 T
" `+ b- q2 [7 i' F2 z②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是/ ^, G4 U* f ?; V+ g
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
: F+ Q9 a; W* d" ~3 \* x/ M③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。
3 F- q6 d7 N* ~6 T) s0 E6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。& o m$ u1 z9 J5 s1 a# v( b
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。2 ?" _) l, V# n. j3 }, q) I
& F( A+ |2 S& d7 V7 s
上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
& g/ J/ ?4 f& z% _) k
8 K- h; a: X l* M* L: G2 [如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。
% F7 H: V4 K6 E
( _3 K8 m% G/ L4 O回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。
7 ^2 j! ^. m+ d$ w/ t9 z) ~/ q; C9 n! b5 A
如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。& o' x1 I0 a; b' t7 R& c) X* I
: |% M5 q* R: t$ Y% F$ w; X[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）
& t: A% w; k* A2 P4 d& u/ R0 D/ E) X4 s
1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
5 [/ p$ e m5 N/ M, W5 U! O! _2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;* K8 `! i4 N9 }* u( q" U" ?: W
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;
/ E6 O% k- Z0 ^( |4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。
! m1 {6 T9 P$ g, ~1 s& R- H5 G- [2 |6 O
[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）
( @% Y- @0 f! S0 Y
) C$ P' ?+ |3 E6 V- {4 N- R @9 C; `- t
1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;; _7 `4 {6 e# h2 g3 S: A
2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;0 W. Z- J- w" n( }
3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;0 P. C$ K6 H6 v* q! z
4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
发表于 2007-1-30 17:33
楼主
发表于 2007-1-30 17:46
发表于 2007-1-30 21:47
发表于 2007-1-30 23:41