虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：
% [3 l" \4 G6 x: c
9 b4 b$ z6 ]; ^4 ?( H* n9 ^X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
% [. K8 P8 i: Y+ j5 Z; u' P0 K4 V* Q* W1 @. f* [, p& s2 i* S0 G
这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。% h6 G7 H, M) u; F
* t7 |' r5 w8 o* }
但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。
( k/ y$ |0 r/ g8 W9 G0 {! |- ?2 U" E, T! X
因为
2 u8 \2 O5 X) k! H1 a+ e一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。
: Y, y$ ?4 ^1 L- m5 E2 M
4 I% O1 J, h9 d/ C如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？5 s: ^6 @: p V( A
* p2 Z+ P/ A# Z8 d2 o1 \再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。( c& g+ n9 n. w+ x+ @5 x2 d
$ |; h# }& ~# \/ v. y5 A% W近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。
' i+ O# U7 W: Y5 p Y2 D5 \( G8 y7 H, C
我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。 c- C- T0 m) H2 y+ _4 k" k
下面我讲解我所想到的土办法。
" l: P. p! _) X v/ U2 b- N# u: A/ [9 C1 Q$ X$ C% J0 z: S% E
# }4 J# V5 b2 w+ K/ l0 r' ~4 B
首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。. Q& w: b" d* {) x
i/ Y+ q! l! b# h( R[定义]
) N& {) D- ^/ W' a" w7 l' [% J' S( X0 c5 y整数乘以a，就是阵列常数个a。
! a, x! n& l* `9 o( L3 P, {9 la除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。' X% k6 X2 ^" J; T4 Z
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
+ `1 C; l) F$ {7 F2 E5 o9 ta-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。
( I' K; d5 |+ f% ~ t- Va*b即画个矩形，边长为a和b。; y* M8 f: F4 Q0 Z" k1 X
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。. ^0 b) m4 v; T+ E+ y$ o
% w/ u4 K. e+ [* w+ fa的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。5 _/ ]3 j) e0 J# o
其余仿此定义。4 P/ x3 ]% E0 [" R x3 V' _
1 G# j( D+ B3 Q* {% C: X
[步骤]$ j6 ~( I& @' b1 r: N9 ]
1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
* T) U6 ~6 z4 e5 {; e6 z4 K. t5 B/ ]2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；
7 L7 d+ L1 j. _4 _/ T( m3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；. p- l1 v2 V, j# H3 L g
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。
% e; Q* P- }# I7 p3 K5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②+ G: M. z. h4 `
①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。, d3 D O# g2 L+ E
: n, L& @- I% l6 u
②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是/ ^: q& ^1 Q' k3 b) q
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
7 u5 U' {: L$ E+ p, a2 c③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。0 @/ u3 Y8 D; I M' b3 f; s p; I
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。
- U# d9 M4 p: u4 s7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。
$ h* H9 f9 C2 i4 [2 n1 k, C; A- _ Z! j h
上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
. [. b; j* M, q
' J& y! }+ G- T# Q8 X+ T7 T5 E" v% S如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。
. \& l4 L' G3 F5 p% ^0 w* i }1 O. {8 I9 \7 O7 Z
回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。
) f4 p8 Y( i4 W6 F6 u% E% T' D/ ]5 c2 X- c- i: ?! n
如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。
) F/ H4 B( D5 k2 |9 M! X& b3 l( x/ q- l5 |3 j$ I S9 {
[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）
$ e. E6 L; z `& U; D- a5 b# c* B) `& D
1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
+ z' q/ G7 J1 d3 ~. q7 Q. f2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;
7 O {8 _& `. b ~# W f+ o+ W3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;
$ S( ?. r+ Y5 I1 F4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。0 W9 p& S! X0 b! [ E" {& ~* _& V
H6 A/ [/ Y9 {5 e" F
[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）
# D" Z1 V2 Y3 L' l$ F7 m; M5 T- R1 i# q- ?/ E
* i# i" l+ R. l% L; H0 m- \1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
) D& ]( k. F& k% e$ @( l4 J2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
' V# r. W7 O7 Q% z, b. e% X3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;
& ?( w* ]/ k5 U4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
发表于 2007-1-30 17:33
楼主
发表于 2007-1-30 17:46
发表于 2007-1-30 21:47
发表于 2007-1-30 23:41