虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：6 L$ P' B4 V/ h c9 x3 a
. h7 ~3 G: b2 u6 {8 H! m# X6 RX*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
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* r1 G2 O$ N0 G2 \2 R& G8 d1 q这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。8 A5 M- V4 \* T4 ]# q; n. [% w1 Q* I8 @
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但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。
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因为
( }/ W3 E; m0 N' y# W5 k一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。4 e$ p6 K) X x, u9 N0 ~
$ }1 W0 y2 j! {2 b$ B如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？
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3 C, b9 X; w: a再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。5 C# a" m9 M8 v' e9 X5 |
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近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。
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' e9 t8 A! V# j8 S6 F7 C. ?我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。 k; t- v/ H# }+ X- r: _5 e8 U n
下面我讲解我所想到的土办法。
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首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。* G6 {' o+ {2 T" T% L; }# P9 q8 J
4 w+ u. |$ Q9 w; ^[定义]. ^+ {2 k5 R* Y, @3 o
整数乘以a，就是阵列常数个a。% e8 i) r" M8 t# v
a除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。
8 j% h2 G6 i4 O8 S1 L+ @a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。# K. `, t/ c8 n
a-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。. C h0 q/ f9 H1 @
a*b即画个矩形，边长为a和b。+ |3 b4 C8 ~9 X" [. ?7 O
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。
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a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。2 v* \" _* c$ O
其余仿此定义。' E& @6 g9 _1 u
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[步骤]
6 N3 }- I; U1 j" P5 p, b0 G1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。% K/ T2 X/ b* Q9 S
2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；: }, L7 ^- [# j, u) r0 Q! v# a% L2 L1 e
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；
: w3 k& W4 d$ J0 s0 ?% E4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。" ?/ q0 a: o* o2 f
5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②
' l( F/ s! K9 V* S- M①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。
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4 L# f1 B4 Q2 c9 n' c. t②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是4 W2 t2 N3 l1 Y
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
0 }' s' z# D4 C5 K③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。
7 j) ^# U: v5 |) s7 c& A6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。: h! p; }4 O& K k, n8 @
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。; j* o$ \8 w3 P. O8 A
3 O2 `" m3 x8 ?/ E, d i上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
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8 f& u/ }5 }& b' l如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。7 K9 m8 ?8 c+ _
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回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。9 j/ C, c5 p8 d1 H e' i5 \4 `) N, | W
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如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。
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! H2 v8 j; u4 H0 v[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）- v4 b! v" J& V/ Y
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1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:6 h1 i( M, T/ k9 s' f
2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;
! y. ?/ v! m* L: A0 b; z `3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;1 v' K! Z. C- r1 I$ t4 y9 B
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。
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1 a' }0 }) Q+ H# Z# C[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）. _( M% {3 \- c2 k& }8 [; X. k: t% d3 {
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a! x9 q( `) Q& G0 |) D4 x1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
* X5 D. E, r* y( Y+ s) T2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;) ~' h" K+ F4 | i2 y
3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;
4 C6 L9 l) Q: p4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
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