虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：
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X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
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这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。
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1 s3 T I( V$ w# R H9 m" A但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。
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) q+ `9 r! E% @8 G因为
$ r( b! Z9 j6 c- q" B5 O一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。9 W! k a* e, S% e U' R" r% f
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如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？, P- i8 b# r8 y! m
8 I2 [1 c7 E+ A, \; W' x! g+ t4 W再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。
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. V8 r* e0 O: s; k; Y/ H: _近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。4 L& ?- ?8 I% j8 w0 N' E5 [" p
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我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。
* e; T# Z8 S8 K% u' W下面我讲解我所想到的土办法。
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首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。
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[定义]
) F; S3 F q$ z: E. y3 @/ Z整数乘以a，就是阵列常数个a。
" P* l$ f3 _, b8 Na除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。
& m ~1 R) S, f$ Q7 g- f2 d' Ba+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。* C9 D" i7 F0 j
a-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。. s1 p% R7 b/ u4 D
a*b即画个矩形，边长为a和b。
$ f; I7 f& r4 J1 y2 O4 c+ Ta/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。
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a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。8 z- @: Z1 v$ |
其余仿此定义。
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- ~( Q, _, t8 `6 j. j, m[步骤]
& R! u, s3 {# d; s) }6 f1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
9 Z9 `7 U+ ^+ A" C+ s/ L$ X2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；7 p* D- X* ~6 n7 C( Y8 V$ i
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；4 T/ ]( [' r$ E: _0 P
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。: |& B; l- ]& H5 m! V, k
5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②1 e. n! o9 k2 M. N3 X5 @
①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。. v, D5 `3 [' i9 Z7 h" f" C" C$ h: J
+ |# l T8 W3 s# V# G/ K8 r3 N②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是
6 `$ p1 Z$ e' b7 ~* q“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
% f. E2 [' [( V2 L, ^8 f8 `1 J③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。
" C! p2 p) b0 [0 G+ S6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。' A/ d3 s8 c, S1 V# T9 ]
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。 t" F/ A8 W# _/ n$ T# \
; l1 g! X8 u9 |# S/ Q上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。1 U- b/ g( N- M3 I$ \
' _5 N% U* Y3 M7 a e9 }7 o; j' U如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。# P) i* s: [6 A+ K
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回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。( a7 V" d: R- |5 p; W5 K3 i
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如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。
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+ O f) P) R( q- M8 m[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）
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0 R; a7 `6 \* H1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:& B+ D1 h6 M3 p0 n( W
2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;# U, K$ M& N& r0 E9 {
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;
7 \- Q7 x) p3 Z# E! x& w1 B4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。& A5 \% Q- _* S e% |0 e
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[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）) ?2 \+ a# n6 I7 X0 [
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* s9 w" x7 ^- d' C2 [8 l1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
0 O3 E) M/ ^ R3 R2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
/ z" b; i, F# V; V9 K3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;) c% s8 M4 c& C" m; ?5 C
4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
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楼主
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