虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：
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X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0) O" W5 a }6 K4 ?# _; W
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这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。; C$ Z. O( {& ^+ H$ X* D4 G
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但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。
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因为
7 ?$ m& v1 U: q8 u: j9 [' w一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。8 x4 |7 ~) ?8 _9 S3 Z U W7 l
; {; {% ^- ]' h: y+ J w如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？1 ]( f4 B3 C$ `% J( N! [2 r
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再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。
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" W; d* E% R) ^2 D* ~: S近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。/ z0 f9 {6 q3 g8 e$ j0 e. J
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我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。' U4 W+ D: }4 H2 ~
下面我讲解我所想到的土办法。
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0 M: ?+ J- R# o首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。0 Z- j. S N' w7 f& l! f
9 G5 o3 v/ p. i! R s. F' q7 [. f! |[定义]
! |2 `0 Y- F A7 O整数乘以a，就是阵列常数个a。
: o2 Z* F/ H' la除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。5 p1 ]0 `. t" l9 z V3 V" K
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
* s2 T8 V7 l' X* j$ Z" N& A8 Za-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。
9 p" d( }( A8 ma*b即画个矩形，边长为a和b。9 W1 w$ ^: C) c+ v
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。8 c5 ^) \3 |/ N0 Q8 c7 F' Y! i
# ?# a: C/ H6 s& i7 X" a
a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。
, w6 `( _) i% E6 t& c- d, ~其余仿此定义。
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; |& x$ @3 c8 P/ n* _' c2 h# Z" i[步骤]
+ C; E) o; E7 O1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
7 q( B8 ^0 f) {9 v7 A* U5 G: D- \. \2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；6 k. |7 N" m8 H" m A1 B1 F
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；, Y7 ?/ G; q* I
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。
( y" | d& T9 X5 E3 E5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②- {9 \: g5 [: F5 z
①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。- f) Z8 q4 q% M
% c& e* D) @' p" H; F; J( ~3 ]( Q( D②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是5 b! u" m3 w8 K6 _4 {8 B1 k
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
* m0 A! e5 c" g+ t5 e, ? b③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。* G5 k3 O/ z3 N1 y4 B4 a
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。( k/ S9 ~( c$ U- W4 e( `
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。4 b9 I% X5 W5 A
( M* {4 l: v+ w" C0 m4 j' x& k
上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
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! E+ h9 Z% H8 Y/ @/ c. {如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。
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L5 T8 b* o w+ C- m1 r5 j9 |回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。& d( w9 i5 W% l/ d' q
* ?9 Z+ }9 J$ I) o0 V4 P如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。1 J6 Y' u+ ] q a6 O o7 C
7 X' C& T6 j3 S- M* ^# l% T8 T[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）) z5 n0 F/ F) T4 B2 S
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1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
! |( T, c5 G$ H, ~2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;$ D, G4 R4 X& ] Z( y
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;4 X+ f' l( m+ X: [6 P& B
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。
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[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）, }. o. L6 A( p2 j1 i
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0 {7 x& L4 I6 A# S1 h1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
( r1 g4 H6 o: U: {5 Z9 @$ a2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
, ~% ~) S- }, c3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;) `6 T3 O* R& N1 }* k( s
4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
发表于 2007-1-30 17:33
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