[T012]来道练习——已知正三角形中心及过中心的割线长，求该三角形边长

yimin0519

图中O为正三角形ABC的中心，DE为过中心的割线，求三角形边长a：

6 M8 l0 s' _1 i. ^' Z
* }9 X6 _  E. D0 W; h
5 {! m% ~$ x( g4 |1 Y" i[ 本帖最后由 yimin0519 于 2008-2-12 16:16 编辑 ]

adlee

我真的菜鸟..  实在想不出来啊  好闷
1 O& a2 K' i! F* Z+ @8 Y谁能解决下 把线路公布下麻 谢谢了

zzzzzzzzzz

原帖由 yimin0519 于 2008-2-12 16:14 发表
* `6 Q3 [5 K: t) e! \图中O为正三角形ABC的中心，DE为过中心的割线，求三角形边长a：

29193

用阿氏圆

[ 本帖最后由 zzzzzzzzzz 于 2008-2-13 02:13 编辑 ]

zzzzzzzzzz

原帖由 yimin0519 于 2008-2-12 16:14 发表
- d6 V9 z+ I( |7 l& W, O图中O为正三角形ABC的中心，DE为过中心的割线，求三角形边长a：
$ a" m1 `8 v& ~2 S6 w; i9 v
29193

缩放

truezx

根据zzzzzzzzzz版主的提示－－－－阿氏圆  做出来了
/ t# y$ X7 v- [! `3 f
9 S8 x& T1 M% B/ l# J3 @& |4 n5 y/ ?思路如下：
, u6 P- i& ?9 ^- b4 \
1、三角形AEC为所求等边三角形的一部分，AB=50，BC＝35，B点为所求三角形中心，所以EB为角平分线，很容易跟阿氏圆联系在一起了。因为三角形角平分线定理： AE ： EC＝AB ： BC
于是做阿氏圆a，该圆上的点到定点A、C 的距离比为50 ： 35
1 m$ y- t! m% l3 b# n2 o2、如何确定E点呢，因为所求三角形为等边三角形，所以角AEC＝60度，即线段AC外一点E，使角AEC＝60，则E点的轨迹是什么呢，根据圆的弦对应的圆周角处处相等的原理，可以知道E点的轨迹必是以AC为弦的圆的一部分（两个圆的一部分），作为该圆的弦AC所对应的圆周角必为60度，于是以AC为边做正三角形ADC，且做该正三角形的外接圆b，圆b上任意一点X都存在角AXC＝60度（或者120度）。该圆b与阿氏圆a交于E点，此时，角AEC必为60度。
3、过B做垂线BF垂直于AE，以B点为圆心，BF为半径画圆c，就得到zzzzzzzzzzzz版主的图了。

4 R% Y9 a7 D# N3 ^' {
0 q; ]& \8 f9 t; v- Y% e
5 c0 S2 F/ _; o# R' `6 _
[ 本帖最后由 truezx 于 2008-2-13 13:08 编辑 ]

yimin0519

Z版两法都很妙，truezx兄弟的过程解析也很到位，学习了。作为回敬，我也来凑个解法：
8 f1 G  }7 R6 R6 G' j/ M. I
/ {0 D, A9 C) t) `' K8 ?! D
& y1 P8 D8 E2 Y; N1 c

yimin0519

hejoseph先生是位奥数高手，我再将他的作法演示一下：
- \( @0 c3 j# D% \) i
. V& d) ?/ L7 \. ?0 n5 e

zzzzzzzzzz

原帖由 yimin0519 于 2008-2-13 17:37 发表
hejoseph先生是位奥数高手，我再将他的作法演示一下：

) S) C/ i; W* ]% E, B  \1 r) F29243

yimin0519

呵呵，Z版主简化有理！！

zhaojun413

我告诉你,这样的三角行就有无数个,你的题目是不是有点问题.边肯定就有无数根了.

lyk0762

不错

zsj19850113

50：35= 10：7
2 S; N4 S& a/ L  {然后用缩放