[T012]来道练习——已知正三角形中心及过中心的割线长，求该三角形边长

yimin0519

图中O为正三角形ABC的中心，DE为过中心的割线，求三角形边长a：
# h( h' d; O6 j
; I1 {- y+ C7 P5 m
5 M/ z! D0 T) ?% G$ o# L
[ 本帖最后由 yimin0519 于 2008-2-12 16:16 编辑 ]

adlee

我真的菜鸟..  实在想不出来啊  好闷
" C: t1 H8 a6 _  G4 J9 f! I( T谁能解决下 把线路公布下麻 谢谢了

zzzzzzzzzz

原帖由 yimin0519 于 2008-2-12 16:14 发表
图中O为正三角形ABC的中心，DE为过中心的割线，求三角形边长a：
6 z4 E8 X/ m9 _( `7 {3 ^
+ h7 g3 Y. x  Q7 w1 ^$ C" x29193

用阿氏圆
, y# J: h% R( U) s& x% B
3 @$ ^/ H, y# ^6 F[ 本帖最后由 zzzzzzzzzz 于 2008-2-13 02:13 编辑 ]

zzzzzzzzzz

原帖由 yimin0519 于 2008-2-12 16:14 发表
图中O为正三角形ABC的中心，DE为过中心的割线，求三角形边长a：

7 ~/ ^: T- l1 v) S7 y8 S: e( y29193

0 y7 m6 U9 }" ], k缩放

truezx

根据zzzzzzzzzz版主的提示－－－－阿氏圆  做出来了

思路如下：
, u5 q4 X- I& v( k# H1 l( W* H( {
* _' w& v" g8 r+ M1 }9 F3 ~1、三角形AEC为所求等边三角形的一部分，AB=50，BC＝35，B点为所求三角形中心，所以EB为角平分线，很容易跟阿氏圆联系在一起了。因为三角形角平分线定理： AE ： EC＝AB ： BC
于是做阿氏圆a，该圆上的点到定点A、C 的距离比为50 ： 35
! `. C0 z" b! ?; r* F7 Z& ]& X2、如何确定E点呢，因为所求三角形为等边三角形，所以角AEC＝60度，即线段AC外一点E，使角AEC＝60，则E点的轨迹是什么呢，根据圆的弦对应的圆周角处处相等的原理，可以知道E点的轨迹必是以AC为弦的圆的一部分（两个圆的一部分），作为该圆的弦AC所对应的圆周角必为60度，于是以AC为边做正三角形ADC，且做该正三角形的外接圆b，圆b上任意一点X都存在角AXC＝60度（或者120度）。该圆b与阿氏圆a交于E点，此时，角AEC必为60度。
' Y* {0 W. `" N) g6 [3、过B做垂线BF垂直于AE，以B点为圆心，BF为半径画圆c，就得到zzzzzzzzzzzz版主的图了。
- T, m4 H8 ?8 i. }, y3 b8 g
+ O7 S! G& k4 r' |1 w/ V


# j9 M2 e/ i! D9 i6 ^  m( g/ \' w[ 本帖最后由 truezx 于 2008-2-13 13:08 编辑 ]

yimin0519

Z版两法都很妙，truezx兄弟的过程解析也很到位，学习了。作为回敬，我也来凑个解法：

2 j4 P5 o0 g: e' u6 X

yimin0519

hejoseph先生是位奥数高手，我再将他的作法演示一下：
, e' }% G0 P- i+ Z& D5 K9 B

zzzzzzzzzz

原帖由 yimin0519 于 2008-2-13 17:37 发表
hejoseph先生是位奥数高手，我再将他的作法演示一下：

! R2 z# r( r2 i0 Y3 q  V1 W4 l29243

yimin0519

呵呵，Z版主简化有理！！

zhaojun413

我告诉你,这样的三角行就有无数个,你的题目是不是有点问题.边肯定就有无数根了.

lyk0762

不错

zsj19850113

50：35= 10：7
1 B/ E6 \( h6 Q8 N, }然后用缩放