从一道难题想起

xsbf · 发表于 2007-1-30 17:33

从一道难题想起

上次在论坛上看到这样一道题,就是画下面这个图形,不知是哪位大师想出来的,的确是高深。虽然朋友们解决的办法不少，但总令人不太满意。我想了想，非常惭愧，没想出答案来，不知最近可有朋友解答出来呢，盼告。

xsbf · 发表于 2007-1-30 17:34

虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：

X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0

这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。

但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。

因为
一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。

如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？

再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。

近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。

我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。
下面我讲解我所想到的土办法。

首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。

[定义]
整数乘以a，就是阵列常数个a。
a除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
a-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。
a*b即画个矩形，边长为a和b。
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。

a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。
其余仿此定义。

[步骤]
1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。
5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②
①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。

②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。

上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。

如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。

回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。

如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。

[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）

1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。

[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）

1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;
4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。

cad · 发表于 2007-1-30 17:46

写的真好，这个题目是我从别的的地方转过来的。确实应该是个直角三角形，而且确实存在这样一个图形。

jerryqwq · 发表于 2007-1-30 21:47

天啊看的我一塌糊涂啊晕头转向

不过确实厉害

zzzzzzzzzz · 发表于 2007-1-30 23:41

用CAD做四则运算很简单,不用画面积.A*B运算如图:
A/B反之.

[ 本帖最后由 zzzzzzzzzz 于 2007-1-31 00:02 编辑 ]

xsbf · 发表于 2007-1-31 09:36

因为是刚想这个问题，自然相当多的东西我是想不到的。

补昨天少发的一张图

zzzzzzzzzz · 发表于 2007-1-31 10:31

用CAD开平方也很简单.大家想想.

xsbf · 发表于 2007-1-31 10:40

开方，我是构造一个正方形然后找边长。

因为目前相当多的工作，属于是“萌发”阶段，有待一步步来。
比如，我相如何算整数N与线段的长度，上面的是一种基本方法，还可以先画个 N正多边形，边长为线段的长度，最后查周长就可以了。

下面先提供方程的公式

xsbf · 发表于 2007-1-31 10:51

一元四次方程

zzzzzzzzzz · 发表于 2007-1-31 11:16

补个证明.

zzzzzzzzzz · 发表于 2007-1-31 11:32

原帖由 xsbf 于 2007-1-31 10:40 发表
; O7 _; x v% X" c+ W' d* ^开方，我是构造一个正方形然后找边长。
; _; _* h: a* h
0 E% n: j7 W2 ?因为目前相当多的工作，属于是“萌发”阶段，有待一步步来。4 k% w- r$ A! S; J8 q i
比如，我相如何算整数N与线段的长度，上面的是一种基本方法，还可以先画个 N正多边形，边长为线段的长 ...

开平方运算.供参考.

[ 本帖最后由 zzzzzzzzzz 于 2007-1-31 15:26 编辑 ]

zuzi2008 · 发表于 2007-3-12 10:55

我也画过不少几何图形，通常这种题是不需要用代数的方法来解决的，思考中！

jojohum · 发表于 2007-3-14 20:32

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

工加人 · 发表于 2009-2-21 11:14

这难道就是传说中的天书

xhjinshu · 发表于 2009-2-21 13:16

不知有没有人用这种方法？
迭代的方法
一步步往目标靠近，用几何画最好，用代数方法求解也不算难，起码不用求解四次方程

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