趣味三角形：两心平行于一边，线线皆知。

yimin0519

仁者见仁，智者见智，您可以用任何手段搞定它，繁琐也可（有作图过程或痕迹），简单亦行（三言两语），但因本帖的特殊性，楼主不需要您“交白卷”（即只标注尺寸而不说明理由），所以有言在先，请勿见怪。您可以保持沉默或飘过，把论坛资源空地让给他人。
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即便您用尺寸驱动与形位约束软件搞出来了，要发布回帖，请尊重楼主上述前言，除非您确实勘破了本帖的玄机，但也请告诉大家，否则真的不要交白卷（因为会玩尺寸驱动的同志如今多得很，楼主也是其中之一，呵呵）。
6 v, j. Z6 f& K; @& h

guzhenfei

文字叙述不方便.大概要点是这样吧!

yimin0519

回复 2# guzhenfei
5 K! w- U$ C8 q5 N' V/ E
非常有理，帖子的标题“线线皆知”就是这个道。
楼上guzhenfei先生都把三角形三边长度计算出来了，根据边长数据作三角形那是极为容易的事情了，我们称之为“异位作图”。
! _/ C# z/ X0 Z: b: r* O" M7 c$ w/ [
回到纯尺规作图层面，欢迎大家继续讨论下面这两个问题：
& A0 f. q2 c  ]沿袭帖子本意：已知△ABC的内心I至重心G的距离IG，IG∥BC，且底边BC已知，求作三角形。（以下约定用圆规度量出来的IG=d=15mm，BC=a=215mm）。
' i: g, Z7 i/ Q( V0 F' E
1 G4 n) ?5 Y3 W一、IG、BC就是给定长度（分别为d、a），可以用圆规去量（因为直尺是没有刻度的），如何实现通俗易懂的异位作图（三言两语即可，出个草图也行）。
+ K# X& G+ E& H& n* b8 H" I
5 m6 C1 M9 b4 I& e二、△ABC的内心点I、重心点G是已经定死在纸面上了，边BC的长度是给定了的（位置没定），如何实现本位作图（即作出来的三角形它的内心、重心位置就在点I、G，注：这可要通过“复杂”作图）。

chenmik

回复 2# guzhenfei
$ u! ?9 u& X* V. ]+ _( `
" Q5 L1 z: q5 ~2 t- ]& _0 \
    这个证明能详细点吗？看得不是很明白，谢谢

guzhenfei

9 c1 j6 ]+ n* X
谢楼主的点拨.

yimin0519

$ R+ [) F$ ]! I' s: u/ j) d回复 5# guzhenfei

$ @" k9 V5 \, G* I: Q/ e- z$ j高手就是高手，终于勘破玄机。

& q, Y& s9 }" d: S那么3楼需要讨论的问题一得到了解决，异位作法用文字描述就是：作已知底边BC，作BA=BC-3IG，作CA=BC+3IG（交点为A），则△ABC为所求。
6 g& ]6 w6 N1 K# G7 {
4 b% t3 H2 L; g8 p7 \大家继续讨论如何解决3楼之问题二（即原位作图）。

guzhenfei

偷懒了,画一个图示吧.

yimin0519

回复 7# guzhenfei
- B- G! w& g4 V2 {5 C  h' K

. [" D+ _/ z; K0 A1 C  高！除了第一步外，用了七大步骤。

yimin0519

之所以称之为趣味，这样的三角形还包括以下内容：
! i( \5 M+ F3 Z; t* I8 s
一、除内切圆半径外，三角形所有的点（各心、各足、各中点、各三分点）的水平分量（在BC上的射影）、三角形三边长等均是可知可解的。
  o; X  k: t2 o  [! Z% h
二、如果BC边长是两心距离IG的整数倍的话，那么最小倍数只能是7（是6的话，B、C、A将与IG重合），当为12倍时，则三角形为直角三角形。如下图所示：
. d6 e3 w/ Q: e$ C( V# s! S

) [: W6 x# S: g& [) f  }
, I/ O+ z' p% W0 W, l; R

guzhenfei

回复 4# chenmik

发一个简图

yimin0519

下面这个作法看上去烟花缭乱，其实做起来并不复杂，目的就是一个：把三角形BC边上的高求出来（内切圆的半径的3倍）

8 r, f* A6 X0 O- m- K; m8 q/ V

chenmik

回复 10# guzhenfei
/ p5 _2 k. w7 z' E# A

* w. e* h8 ~1 {3 s( S( T    老师，惹我愚钝，FD=3IG这个还不明白。

yimin0519

回复  guzhenfei
% ]+ f3 J5 ~" X! |6 O2 I5 _

$ _+ H; q4 V" z& [    老师，惹我愚钝，FD=3IG这个还不明白。
$ h# U5 l* s  n0 b2 w' kchenmik 发表于 2015-8-22 10:49

7 P6 V) l. y2 P' h

  中点高都是大三角形的六分之一：
' H  D4 V( D$ Y
; h" w3 }+ @0 S9 \# S" W3 t

zptxh

谢谢学习资料！！！