趣味三角形：两心平行于一边，线线皆知。

yimin0519

仁者见仁，智者见智，您可以用任何手段搞定它，繁琐也可（有作图过程或痕迹），简单亦行（三言两语），但因本帖的特殊性，楼主不需要您“交白卷”（即只标注尺寸而不说明理由），所以有言在先，请勿见怪。您可以保持沉默或飘过，把论坛资源空地让给他人。

: F" L! t( W. }/ [9 L即便您用尺寸驱动与形位约束软件搞出来了，要发布回帖，请尊重楼主上述前言，除非您确实勘破了本帖的玄机，但也请告诉大家，否则真的不要交白卷（因为会玩尺寸驱动的同志如今多得很，楼主也是其中之一，呵呵）。
5 l* N% C5 I$ Q7 ~0 q4 c
' ^% }: h0 S0 \0 l

guzhenfei

文字叙述不方便.大概要点是这样吧!

yimin0519

回复 2# guzhenfei

- U4 @6 R6 ?/ A/ h" T) U非常有理，帖子的标题“线线皆知”就是这个道。
楼上guzhenfei先生都把三角形三边长度计算出来了，根据边长数据作三角形那是极为容易的事情了，我们称之为“异位作图”。

回到纯尺规作图层面，欢迎大家继续讨论下面这两个问题：
沿袭帖子本意：已知△ABC的内心I至重心G的距离IG，IG∥BC，且底边BC已知，求作三角形。（以下约定用圆规度量出来的IG=d=15mm，BC=a=215mm）。
+ a, s! \( r/ d
% ?. q* l7 z, Z3 t8 V5 [  X一、IG、BC就是给定长度（分别为d、a），可以用圆规去量（因为直尺是没有刻度的），如何实现通俗易懂的异位作图（三言两语即可，出个草图也行）。
5 \- z+ d. c9 t
" V1 l1 M/ w! v* l. u+ |  [9 B二、△ABC的内心点I、重心点G是已经定死在纸面上了，边BC的长度是给定了的（位置没定），如何实现本位作图（即作出来的三角形它的内心、重心位置就在点I、G，注：这可要通过“复杂”作图）。

chenmik

回复 2# guzhenfei
% z6 a1 H. [" @2 Q0 j- j

9 m; n3 b& f% w$ T- K    这个证明能详细点吗？看得不是很明白，谢谢

guzhenfei

谢楼主的点拨.

yimin0519

* c' _1 _+ C: m& I8 A' d* S
回复 5# guzhenfei

高手就是高手，终于勘破玄机。

那么3楼需要讨论的问题一得到了解决，异位作法用文字描述就是：作已知底边BC，作BA=BC-3IG，作CA=BC+3IG（交点为A），则△ABC为所求。

. @, L/ X& O! V5 P' A) q- P1 p大家继续讨论如何解决3楼之问题二（即原位作图）。

guzhenfei

偷懒了,画一个图示吧.

yimin0519

回复 7# guzhenfei

% j4 h4 ^1 n, E2 ]
  高！除了第一步外，用了七大步骤。

yimin0519

之所以称之为趣味，这样的三角形还包括以下内容：

一、除内切圆半径外，三角形所有的点（各心、各足、各中点、各三分点）的水平分量（在BC上的射影）、三角形三边长等均是可知可解的。

二、如果BC边长是两心距离IG的整数倍的话，那么最小倍数只能是7（是6的话，B、C、A将与IG重合），当为12倍时，则三角形为直角三角形。如下图所示：

guzhenfei

回复 4# chenmik
  u7 q" R  s2 p/ |9 J1 Q$ U& f6 o
发一个简图

yimin0519

下面这个作法看上去烟花缭乱，其实做起来并不复杂，目的就是一个：把三角形BC边上的高求出来（内切圆的半径的3倍）

9 V3 y$ _" s: ?. C

chenmik

回复 10# guzhenfei


: _/ ^1 |, r8 d; d    老师，惹我愚钝，FD=3IG这个还不明白。

yimin0519

回复  guzhenfei

% d. p( w$ I# {0 Z7 F( q
: D0 P3 d" F  i; u/ ^4 J( k    老师，惹我愚钝，FD=3IG这个还不明白。
9 N! l9 H6 W  J* }$ Echenmik 发表于 2015-8-22 10:49

0 D+ C( Z/ l! E" B! Z
  x, J& a( l# ]1 k6 [# z
  中点高都是大三角形的六分之一：
$ E. O+ c$ ^' [5 O; p( V
& Y- _# g+ W1 `! x2 \% E

zptxh

谢谢学习资料！！！