本帖最后由 xsbf 于 2011-5-4 13:15 编辑
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% a7 B/ ? _3 k. A- m, E4 V在平面上用两条圆弧围成一个弯月亮，要求这个月亮的面积必须为整数，感兴趣的朋友可以画一画，试试看，答案不是唯一的。/ T I* T. e, _- I; K9 K
m& I- [7 J* g9 r" b关于这个题目，可能有人咋一看觉得非常之简单，但是又发现基本上不可能的事。我先作一下分析：
( K! C5 z& P" a" n1.可以画一个面积为整数面积的圆吗？理论上可以，实质上手工是画不出来的，为什么呢？因为圆的面积公式S=πr2，如果S为整数，则r就需要是诸如根号(1/π) 这样的式子，否则消除不了π。最要命的是“π”是超越数，也就是根本不可能通过通常作图的方法在有限次内画出来，所以画一个面积为整数面积的圆是画不出来的，同样地，画一个周长为整数的圆，画一个面积为整数的扇形，画一个面积为的整数的圆环，画一段长度为整数的圆弧……，这些皆是不可能的，但理论上允许存在，别说整数了，做成有理数事实上也办不到。' u: V3 }" a& c3 [9 l- G9 [
2.通过以上分析，似乎发现一个现象，但凡有‘圆弧’参加到图形中的东西都不能得到整数，咋一想觉得这个“定理”能够成立的，因为有圆弧这样弯弯的东西，它离不开π，而π是不能作出图来的，只要不消除π的存在，就不可能得到有理数，更不说整数了。$ K( `5 v( z) v. |0 {* E; i& z- g
3.但是，数学就是这样奇妙，第2点的观点横看竖看都觉得说得在理，但这是伪命题，事实上有圆弧参加的地方同样可以得到整数，不是停留在理论上存在，而是肯定能画出来的。这道题目由两段圆弧围成的月亮，面积就可以是整数，见附件文件。
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请感兴趣的朋友，自己用CAD画一画，看看能不能画出整数面积的月亮来（答案肯定有无限多个，只要画出一个整数面积的月亮，比例放大一定倍数，又是一个整数月亮。），另外也请感兴趣的朋友试试有‘圆弧’参加的情况（不仅限这种月亮形，什么形状都行，但必须含有弯弯的圆弧），能够得到整数面积（或周长）的图形。! L8 J$ M6 b. O1 U% b/ c0 x1 p
! n* w4 Z! T, _) e附1：其实这个“月亮”图形，在数学历史上非常有名，古人用来研究“化圆为方”的问题，虽然“化圆为方”是不可能的，但不是说凡是含有“圆”因素的东西皆不可成“方”，本例中就是“化圆为方”特例。
- r+ W" w- r/ d# \% P' d: }附2：前面说π不能画出是指，不能在数轴上找到某个点就是π，这个点只能人为地指定，而不能准确地画出来，同样地e、lg2、sin1……这些都不能在数轴上画出精确的位置，因为它们是超越数。但是如根号29 这些数就可以精确地画出来，因为它不是超越数。 |
发表于 2011-5-4 13:13
发表于 2011-5-4 13:16
发表于 2011-5-4 13:31
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