|
|
x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式:
5 z. R5 d: K" T1 T$ j- j7 Ax=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
' e6 Z0 E# _6 U, ~! P6 U
0 D- [* h: |4 @# Y' ohttp://baike.baidu.com/view/521598.htm
6 q* T7 B0 K6 G" a) M. K4 X% m
* ]8 s. ?* U ~" a( Whttp://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html
2 u2 E6 U. w. s! Y( S* R/ Y: N; i, ` a" Z( F* Y9 L G6 c
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
, x" X8 k* v* Z/ ^http://post.baidu.com/f?kz=95574328
# I3 _+ R2 z, X+ M1 {1 n: |5 r- c' P+ _7 V N2 r
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
, v/ w0 o9 z9 l$ P# Z
/ w% b% B' F0 j6 Q8 D 一元三次方程的一般形式是
. u$ w4 P2 j; N& `. M: m x3+sx2+tx+u=0
# t( Z$ n6 K/ P3 V4 y: O如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如
1 ^; ~# C1 x. T x3=px+q
% T- t+ M2 j7 Y$ g! I K1 [( ]的三次方程。
. O. w" u# p7 w' _
1 k. r1 `+ w M5 @6 } 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
2 z( V6 m9 e- U; Z: K a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
% i1 a9 z, `0 B7 C整理得到
$ o$ Y- f7 j6 J+ \+ `$ d a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q$ J% M' J3 t& X+ c
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
8 F1 t; {# a& N8 d0 d" k3ab+p=0。这样上式就成为" M* p- t/ y' K, R
a3-b3=q
6 F' e M4 R0 b" u& z+ q8 M/ q两边各乘以27a3，就得到$ C- P" h8 V+ \$ S
27a6-27a3b3=27qa3
0 p5 M y( j2 }由p=-3ab可知
& R! A6 \4 O7 ~' \6 h1 ~2 e/ i# z 27a6 + p = 27qa33 V' n- g9 |- M
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。: x5 ?6 `7 N# \5 c: ~
7 D2 ?; a' z$ x J5 n; ^7 S; h% g9 i
另外的方法：
$ k2 o) w# C% l/ \, |3 b8 X& [, f$ [/ V% W
先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
2 ]) P9 D5 U) M; hx^3+px+q=0
. W- `( T& _' L2 S& l--------------------------
8 i- @$ s5 G6 p- z1 X( X令x=y-b/3a
1 i+ _; t7 ]2 h+ w3 F7 }. |* c. `則原式就会变成$ x9 m S" A% L$ w N
a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0
6 U9 f2 L: e' d2 ]# j1 P/ qa(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0. j, r3 s% y/ H7 c
ay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=0& G. }9 B8 w; d, K+ O# V
ay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0
5 {. P/ F, T% o! j4 u) ]如此一来二次项就不見了+ x' P' D' y( p3 y% `& d% x, E
5 [ M7 @% c' A& N' F8 G N---------------------------5 _! i8 w9 P4 _* ]
' w* j! r: X" Q+ o; X" o
直接利用卡丹公式：
4 L3 T2 i& F Q. k, s! O1 K" Ex1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
5 e0 I' ~6 V% s# {x2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
/ e! B' w. d8 s# } gx3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
, Y( W/ x. b1 v$ e. h其中ω=-1+i*3^(1/2)
: p% y# D2 l2 q+ o" [
1 T" R, A: Q$ o- Z1 F8 |8 bΔ=(q/2)^2+(p/3)^3
@/ t; [* A) z8 U1 Q( pΔ>0时，有一个实根两个复根 ; f V/ W0 `: u$ O/ t- w7 R
Δ=0时，有三实根
" K) U) }) ^6 {2 }& H9 _+ g& EΔ<0时，有三不等实根 |
|
发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37