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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式:
# Q8 b3 b, n* M7 T8 |0 Wx=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) ! m( S: b- h; R5 G6 I( h
- a' ?- h9 t7 B( M
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
{0 p2 H( V6 o+ ^) `* X+ ?5 q2 b9 A1 g
http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html
# g5 X' r! l" a( A0 r6 y5 h+ K. G3 V% s+ G) P y7 N+ I. J
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html- l. F7 ^& x6 B9 \
http://post.baidu.com/f?kz=95574328
) G; f3 U F9 \: { x. A/ o) k
7 b" ^, o; t* e7 Q- _% d1 W4 S塔塔利亚发现的一元三次方程的解法8 |! I2 S: U; O% D
; A# Z' M2 R! b' q( O P
一元三次方程的一般形式是; o9 [' F- f' {/ s5 u' Z/ \; K, u
x3+sx2+tx+u=0
6 O& I- o, @7 ?0 R* |! m如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如* ]$ e% b0 B5 v$ L# i; |
x3=px+q- }# \ N# N$ X4 N* k: d
的三次方程。) W" ^- U, ^6 i# e
& y+ C% C9 w5 o# X7 H* @$ ` 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
7 P I# r- ?; d2 k* x a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
4 m) u* W% _! Z; H+ c整理得到
; P: s* ~, D6 `4 {8 O* x9 o a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q) C. K' R9 a5 f5 b! ]9 i
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
9 P; t% Y) f) d3ab+p=0。这样上式就成为( G# a8 p) {# Y. Z3 Q
a3-b3=q% C' h; y; o8 c6 h
两边各乘以27a3，就得到
6 ^" n6 i. m# u: n( c6 L 27a6-27a3b3=27qa3- q% k4 ?7 X4 r4 A7 V! W$ |
由p=-3ab可知" n- x3 S. G$ C+ f) i3 H/ s
27a6 + p = 27qa37 _, P( N1 }- m _$ Z& \
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
7 [, y& s" n, q* x. P. n, {' S3 J
另外的方法：
# m* p+ e+ `, F9 A
. l- G2 f. W9 [6 ]先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
. w: j, u7 S d* e8 _# T6 u. ]x^3+px+q=0: I s+ |1 ^% i+ z3 y- i
--------------------------
& Y9 K- C a4 l+ V' l6 w令x=y-b/3a
. Z; R5 ]2 k3 Z則原式就会变成' U# t* Q. n$ N9 g T7 K b
a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0/ t; ?6 U' T9 T; K a
a(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=06 z' _2 C% s3 D7 V3 W5 V- o
ay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=06 O8 P* u+ b! k$ |( F: I: I
ay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0
) O8 l2 o# A+ b2 n5 W' k0 p7 S如此一来二次项就不見了
- [; \8 `# }5 ~5 u3 c) R( N6 s8 G1 b, V
---------------------------$ G7 i; ~- Z( T) [
+ p3 E- {, J' }直接利用卡丹公式：
' N: j2 a1 F u8 r5 t0 ^6 tx1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
0 D! |, Q' I1 f9 A: g8 ax2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) 1 G. N, q! p( ?) x g; x+ B
x3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
' i! h/ F9 N& x# I6 r6 K. H其中ω=-1+i*3^(1/2)
1 ^- s$ q; H% X3 ^6 L5 y4 w
. m1 L( O/ v( R! X& XΔ=(q/2)^2+(p/3)^3 " Z7 w k8 W7 k4 N0 j
Δ>0时，有一个实根两个复根
4 B# }3 w1 o+ ]; ]! P9 _. aΔ=0时，有三实根 2 h3 T* I3 z3 q# P
Δ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37