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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式: * g- n3 D7 D) H1 \& q
x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
; ~0 n) n3 k# a3 ]0 D# Q/ h/ v1 V4 I* u0 D9 F2 l
http://baike.baidu.com/view/521598.htm# J( H0 }& x, Z) S6 v0 x
. `$ G1 G; t. }
http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html% J- O" ]# Z! u) P5 j6 @* S* I
( d( H6 q8 Q" ^3 e6 Z0 \: g) s
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
. h% L) M0 {3 {1 h: p! h" z3 nhttp://post.baidu.com/f?kz=95574328
" p8 |0 b$ M4 F) F8 P+ w9 C- S) m! f1 `2 s3 S. i% k3 F+ x4 Q
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
8 | d. ^/ w q0 G/ |" o
" [+ z S# M2 z) V, z 一元三次方程的一般形式是- I' p: n; H: S& h ~: @0 u
x3+sx2+tx+u=0
0 \+ T$ P* I5 _+ v6 C/ W如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如' ]4 l/ E# f: l2 n
x3=px+q0 a& m9 q7 i( }( g
的三次方程。: \; {8 G( U2 v/ v) l( \
! U; t s& T/ u) o T2 v5 `9 ^1 l
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有% [7 k5 Z# U8 V) J* p6 C6 q
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
6 t: A1 S% M# U8 J8 Y1 [整理得到
! G. ~8 ]7 V( _& U! n a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
: n5 g! }& \. {+ i& f由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，6 a1 i" x7 P" G2 v( g0 J
3ab+p=0。这样上式就成为 H ~$ z2 o2 ~, c7 Z
a3-b3=q, S' b$ w$ d$ S q! j
两边各乘以27a3，就得到0 F' D; A2 J- W$ x6 x: m' G/ D7 v
27a6-27a3b3=27qa3
; J0 l+ p/ |5 W# r. \% D' a# S由p=-3ab可知1 i; ~% m7 o" V/ ~# H+ N
27a6 + p = 27qa3
. U3 }) L( o# L* u这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。3 o/ C# X! S$ K5 H$ X1 z+ {
! R! I* O' ]! f
另外的方法：+ P0 W( @( D8 S( l* ~
5 m5 w3 L: R/ P8 L* ]7 f; A先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
9 j4 i: b2 y4 v+ S3 fx^3+px+q=0
; m, j: q' \* h. B--------------------------& [2 {6 I7 ^0 Z% @0 m( J
令x=y-b/3a1 N) _% U" [+ p
則原式就会变成
0 z' h5 x) S9 j5 U4 K) N# b) Ra(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0
1 r' ^# y( X; R. X. W! La(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0! T+ w+ r5 F& \
ay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=0# u* }: `- @. B- p" B5 r
ay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0
( I" K- U7 S9 l/ L0 B, H如此一来二次项就不見了
& E0 K$ l( T3 J. b0 @% q2 S4 L- t, _- ^% f. x# t( Y
---------------------------# `# T5 L1 E1 v1 }: Y; u
( O5 X v' M& v* \! k; D5 N
直接利用卡丹公式：
: S0 r; V' f4 ]+ Fx1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
( D$ L8 ?5 W5 ?x2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
! v- X! V. D1 Q1 `8 xx3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) # o+ F! V. h, j3 g7 @+ `" N
其中ω=-1+i*3^(1/2)
3 @- ?( L% x1 k# a: _) w7 i. P k8 q7 ?7 i8 t4 c
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 2 |5 h% W/ `9 H5 Y
Δ>0时，有一个实根两个复根 % s8 i1 S+ O8 O# [0 ^! h& B
Δ=0时，有三实根 , ]( M2 t& f6 A. I. T8 Z
Δ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37