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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式: - l$ I6 Z# A6 d* \: X
x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) : x. x' `0 o+ j
; l+ l8 w: }0 D6 p7 Ahttp://baike.baidu.com/view/521598.htm& G) ^, r3 K" q: R3 ~: m5 r% q
/ h: \2 {6 C2 C5 C3 z' R: e8 m2 o0 Z$ d
http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html# E P; f4 h" y7 z! I: @! S/ w5 k# e
1 Y1 J$ L# D. C5 }- B0 i
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html) ~7 h; R8 C% X% x2 d$ o
http://post.baidu.com/f?kz=955743288 G& R! z/ E1 e+ Z8 T8 N. ]
. J8 a6 h2 Y. j3 F3 ?塔塔利亚发现的一元三次方程的解法" r2 J7 `: L" c$ J* V' @+ n
& t7 } g: x6 Y 一元三次方程的一般形式是
- z7 h* e+ U& t1 n& Q5 E x3+sx2+tx+u=0
0 `: ?1 {* o( g0 t4 _9 `2 ?0 D如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如
% ~; t: j, [5 z+ k% j" N1 D% z, x x3=px+q
- g% M0 ]+ p) K; ~/ t& U! E的三次方程。8 |0 ]: Q+ c% M, w# v5 F
, e T5 E0 j7 b8 E
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
6 H0 f" J* y: v a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q1 u! x7 O" b7 ?+ W, w: I# K
整理得到& _6 S1 E1 O' a, U1 q
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q5 W$ a0 `: L4 s) v% X( ]
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，) ?& d* u5 L: w* e) D
3ab+p=0。这样上式就成为
% W* w* c, t" e" M a3-b3=q* S) O5 F/ K; |/ S4 l% \3 @* c
两边各乘以27a3，就得到# J/ ^) }6 ~# U* R5 K8 J
27a6-27a3b3=27qa3 O3 A5 @5 n2 p; H
由p=-3ab可知0 y$ G' s0 h% a* ]: Y/ _3 E ~+ J
27a6 + p = 27qa3
( R) d; c7 Y) _& }5 S: i( w这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。! k; V1 X. e' V% |" q9 j4 P3 ~* `, f3 ^. x
2 [6 l: i7 q* p3 ^
另外的方法：
. d$ u$ ^. p2 ~0 m1 E. E& y2 M2 A
8 t9 @; p2 |& F- g先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
( x: t" B- v: q* w$ bx^3+px+q=0
; ]$ i: u" `3 E6 y) d+ p' C--------------------------
+ _" M4 O$ N% |5 C2 l! W" Y令x=y-b/3a
* b; L/ B* ?! M$ l0 P! t; ] d則原式就会变成$ t4 N3 X% d. b. E" {" M
a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0
: P. i. _( r3 k1 m9 m8 ra(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0
" v0 e( \5 r6 p2 B) h$ Yay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=03 P( w8 }- R2 d3 q; K8 i4 P3 L
ay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=06 v1 D& v7 x. }4 u! E
如此一来二次项就不見了
& M! ~# k3 Z) c5 B( v: H! n# r3 S! m/ p z, K1 B
---------------------------, X4 W. d1 [5 C( K
k# l U" f% u7 P
直接利用卡丹公式：7 _, {! ] T- e' V3 s
x1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) " V4 q, Q$ F2 o. D0 ?% h# O' Y+ F6 A
x2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) 4 V3 ?- Q" q* p& y# B4 ~. W
x3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
( O! b; e) c, S2 j其中ω=-1+i*3^(1/2)
7 |+ @- k7 b: o8 r4 c
$ ~9 N( h/ X/ {1 [3 Q9 H* oΔ=(q/2)^2+(p/3)^3 : v2 w5 z! U5 P) U0 t' `
Δ>0时，有一个实根两个复根 ( W. [7 k7 M2 f0 T
Δ=0时，有三实根 0 k& F/ z; D3 q+ C! @$ G4 f, b
Δ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37