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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式:
, j. m5 u0 _9 ix=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) ! ^6 Z m% P1 c6 T% F5 F& a
8 N" w1 g# ]9 U m7 D
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
0 [5 a* `( V9 Y9 Z2 ~8 Y ?: \8 a, ]7 u, z
http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html
! ^; v: y: {1 K3 ~; Z3 v. ^" a9 |' \8 f, A
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
$ f( g; Y5 d7 r7 ^' Jhttp://post.baidu.com/f?kz=95574328
- S6 l9 ~) Y7 u3 g
4 d: _, E7 S( E' i塔塔利亚发现的一元三次方程的解法, F$ }& ?$ Y& f6 F- Q
$ U0 w: Z% f# p4 w- w" y6 k. E 一元三次方程的一般形式是0 p% G$ _, Y# a
x3+sx2+tx+u=0
( i6 A( h7 d+ g' m8 E# X如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如
* Z1 e6 B( y) h; m, o x3=px+q
4 W! L. z( I, M9 @# H的三次方程。
3 z) R" `8 C& R1 g3 b$ |0 Y) F$ X( ~! Q2 n `, N
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
2 ?% u1 z; ~# Q- U a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
2 Q3 f3 x/ K' G: S) \4 T9 Y整理得到
6 {6 `1 Z+ y( Q. w6 R7 B a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q4 g' w, X' l9 Z- B' V; U& U
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
* @! W( N! z ~* x3ab+p=0。这样上式就成为( r9 G5 }( F9 Z' H( g: i
a3-b3=q
! n# j8 Z, ~( e2 n- g" U# x( l两边各乘以27a3，就得到, Z- g {# b* g
27a6-27a3b3=27qa3
0 U% _5 f! O, a7 b, a2 m% h( |' K }由p=-3ab可知
" I5 h2 T- C4 E- O; w 27a6 + p = 27qa3
[+ X$ W$ e1 c7 _: e( H这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 M: t8 c# \/ {& M
3 e/ |. R+ o1 h$ U; u6 Y7 t9 F+ y
另外的方法：
p2 c+ b7 \( O3 N7 c: O G& l; } U A
先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
& N4 k9 B: v4 Y9 L2 O* Fx^3+px+q=0$ N9 Y* @4 n6 U. S% x
--------------------------% ]) j4 k) v3 S% K3 \, s8 m9 }
令x=y-b/3a
% U4 {3 R, i) u! H0 I則原式就会变成
" i; K9 A& K8 W. I9 P# w# }5 w* |% Xa(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0 C1 ^4 [' Z2 y- c3 ^, m
a(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0
. A# B5 }: u% c7 A9 R; aay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=0
3 U( Y0 E/ R! t7 vay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0
- d2 y9 S! W' F1 E( R如此一来二次项就不見了+ Z, e+ M) L* @8 ?
1 B2 I/ k: U0 b5 C% k+ ~& M* U
---------------------------# F% s1 }. @# }( s
/ S( h: Z/ s/ f9 M: V& x: T直接利用卡丹公式：- A6 O) y3 I8 ]/ d1 _
x1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) / f J2 L+ H6 s- R0 V4 `5 ^
x2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
7 t8 Y1 ~" M( S+ ^3 c- xx3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) ( [& m. w8 D) l+ ?
其中ω=-1+i*3^(1/2)
: G2 [( d2 v. Z! Z1 z: T+ M
2 W2 }7 Q: O0 D, j$ ` @Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 ! |+ s# y: F! u, P8 k2 I+ d
Δ>0时，有一个实根两个复根
* K! G: F: h2 f( c, p4 @Δ=0时，有三实根 3 I/ `5 W. D+ n5 Q. B3 {, S* j4 l
Δ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37