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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式: ) n- A1 N+ v: `- h; e" X* d
x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
- L+ c/ G1 g* w' J9 s% R/ N; B" g/ F1 |6 P' Y! H1 U9 Y5 |; u
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
% D1 Q/ |( Q% \8 o( e) a7 h: f! B- a$ o
http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html) z; d% {) M- \4 n7 s/ b, C6 R
+ x! H5 h" G3 c/ W7 D0 t
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
0 q- P5 z9 v: B: v! Hhttp://post.baidu.com/f?kz=95574328
$ t" b" O) _' w4 q* Q
4 R& ]6 m# T* R6 c: i塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
0 Y7 \ w1 v3 L% b( X4 V
; p0 R+ z$ |( m) }; E7 B. c! ] 一元三次方程的一般形式是: }+ {4 c% [ h; x. Y i
x3+sx2+tx+u=07 J% [/ p5 W: d9 s% i) q6 a
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如" ]! Q4 y; y# m2 x, A
x3=px+q
; c& h4 l! F; h0 |的三次方程。$ d- g+ ]* a! K5 H" [; B$ h
" k7 m7 F/ ]4 |& n) c3 o, f* F
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有
% Z6 n* I. g7 A7 z2 o- q( X7 D1 s a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
- Y* z6 W* L" b) c整理得到
" A, @% |5 X2 ]% A4 Y a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
. x* N; i* `) ^ g5 @1 U. q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
% K3 a& O2 b+ g( J3ab+p=0。这样上式就成为) W/ D( ]$ Q$ l, |' B% G/ w! ~
a3-b3=q
; E. R/ \ h, ~两边各乘以27a3，就得到
! e& k4 `" q- {1 P0 u; ?7 E 27a6-27a3b3=27qa3( J" o; Q$ \4 q7 v
由p=-3ab可知
) ^7 d2 B# O. |2 S 27a6 + p = 27qa37 o6 ]1 H: D/ e4 A
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
) v* p: t' P$ N, O5 w- @# T; m' K: b
另外的方法：4 ~! b; E5 A9 N# N9 y0 X4 M2 H
, ]: l2 v. X8 C0 M" p0 k先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：% M0 P* N6 P" K5 O/ o- X
x^3+px+q=0$ r9 V" N1 F( C1 G$ m$ y
--------------------------
6 k9 o) R4 t6 `0 M令x=y-b/3a
1 \5 Q F5 b5 z則原式就会变成" P" r- i, g) n
a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=07 y4 [) Y7 c( [
a(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0
7 p; N" O8 s+ J& A2 ?4 fay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=08 j9 U9 [8 R4 {: S
ay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0
9 l4 ]; t/ L$ w' v! e) m如此一来二次项就不見了
) p8 }5 ? u: I! u# Q% I( W5 c" ?/ A2 M% P% C( ^
---------------------------, W' T" Y/ A8 }' [! E0 X
# w$ S; a `8 T* d! Z# a直接利用卡丹公式：; b0 u0 j9 M/ X: `, l% T& k. J' d
x1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
% R8 m2 U- J: \0 G7 F! a: Nx2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) 6 d! a ?6 Y ~
x3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) P* L" y0 J8 T, G7 L: {
其中ω=-1+i*3^(1/2)
p; ~$ G0 w& K) ~. ]6 m- }& x, d" V7 y
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 6 P1 \6 a5 g0 U3 v# _% l q' X f
Δ>0时，有一个实根两个复根
5 ^5 Q+ f6 k% b3 x5 eΔ=0时，有三实根
1 _' n0 Q. v0 a( U1 J( G+ zΔ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37