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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式: 2 m- b9 v3 K0 h) P
x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 3 `" @7 V3 K4 |5 U
, W) C) Q" f. M8 G
http://baike.baidu.com/view/521598.htm1 r! H" \# L/ P0 Q3 E
6 h% P3 x |- G. j7 j: ?http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html
. Z& ]0 L3 L! t+ P2 v; l$ F: x* S: Z8 N" l8 Y# }
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
' E1 J+ f5 K8 T0 h: h. W0 C+ Nhttp://post.baidu.com/f?kz=955743282 I. w' c' G' {6 x, Y$ S( i. e5 h
1 h! ~6 P: k3 f& X9 `塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
4 N% B% S2 O+ P7 D3 Z) j
" ]2 E, x/ w0 c 一元三次方程的一般形式是! M3 D4 B* s. U, k! T# j* c2 n. i6 V
x3+sx2+tx+u=0
4 s! _3 r- s) r( l, U如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如
" z6 |7 W" \- m% f3 E! |! r x3=px+q
. f* S s0 p8 P' x5 i) M! Q的三次方程。
7 ~! V4 X9 ~ p& U
; L6 I7 b; u2 {6 g5 o 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有: R1 R$ y+ ]5 H9 R, k; ~7 z
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q# w+ }) D/ O0 o! m, i! l k
整理得到
# e% ~1 x, \1 R% }7 Y7 x) r& f a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
( h% P- ?5 i5 O. R由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
7 Y* j% P5 a ?3ab+p=0。这样上式就成为! e n( v5 E6 Q2 X2 q! z# e7 B: ^
a3-b3=q
( | T" K" {- V两边各乘以27a3，就得到5 w W- b1 `& H; f% H
27a6-27a3b3=27qa39 u! v7 [8 d5 c3 H+ c/ j5 g
由p=-3ab可知
) M+ Y% p1 |7 K8 ~ 27a6 + p = 27qa3
; R8 i/ ?+ M: r2 F这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。9 m& Y# ~, n9 Z; z% H5 h
3 E$ Y7 }; Q8 S8 y e
另外的方法：
# W3 ?+ P8 N$ u8 g* t8 N" [$ W e2 w) [0 k; t
先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：$ }* Q9 }" R, }4 r! I5 k8 p5 P
x^3+px+q=0 |$ k' o- ]0 o& T# k- u' b. _
--------------------------
' ?, ?8 d! A( n9 l) \) ~8 y5 q+ {令x=y-b/3a
$ }8 b3 p# q8 f+ V則原式就会变成 {( s& {" n: u/ x+ n
a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0
; X" z' O4 w- u u5 G$ f# p* va(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0
) W$ m, J$ T9 Day^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=0: p6 c1 b; k) _0 R/ k% l; f7 O- F
ay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0
8 ?1 D% w4 S+ s& ^) Z. ^3 ]1 S4 x# U如此一来二次项就不見了
/ Q; p* _' H* b3 }
3 J2 R3 H! A# h/ n; b9 @: V---------------------------
1 G; B' E' s/ P9 u. z8 G* _ i- Y4 c, g( o6 x6 n
直接利用卡丹公式：
N0 R* K+ j* y5 m* ^" \' jx1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) ' n2 e" S: q/ ]( X- R
x2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
) t1 |* I: j) s nx3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
9 {: S; | C% }其中ω=-1+i*3^(1/2)
2 m0 Z; Z( |! d* | u8 W1 o: P/ w, D; a4 a% J! r, W/ N
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 - w5 O/ u) Q* t
Δ>0时，有一个实根两个复根 & I! ]( l @$ U! ?% `
Δ=0时，有三实根
. |* V" j( W9 g4 LΔ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37